Una notte all’hotel Hilbert

Serie: Menti straordinarie

Venghino signori nel più grande albergo della più grande città. Ma che dico grande? Enorme, maestoso, monumentale. Un grattacielo altissimo che si perde tra le nuvole. Dimenticatevi il grandioso skyline di New York o il gigantesco Burj Khalifa di Dubai, questo li batte tutti. Ma forza, non perdere la tua vista cercando di scorgerne il tetto, perché quello, caro viaggiatore, è un albergo infinito. Non c’è tetto, non c’è comignolo, non c’è nessun piano che non ne abbia un altro sopra, in quell’albergo. Orsù, varca la sfarzosa entrata e non perderti tra i complicati intrecci di scale, ma chiedi al simpatico omino alla hall se c’è un posticino anche per te. Il suo accento tedesco sentire si farà mentre vi risponderà: ‘’Caro viaggiatore, mi rincresce comunicarle che l’albergo è al completo ’’. Non datevi per vinto e grattandosi il pizzetto l’omino rimuginerà, prenderà da sotto il tavolo un piccolo microfono e gridando dentro esso ordinerà: ‘’A tutti gli ospiti. Ripeto, a tutti gli ospiti. Spostarsi immediatamente nella stanza successiva a quella in cui soggiornate ora’’. Un gran trambusto di scarponi, di stivali e tacchi a spillo, di valige e valigette, di borsoni trascinati e di trolley rumorosi, nei corridoi echeggerà ed infine con le gote dilatate da un larghissimo sorriso vi dirà: ‘’Prego, si accomodi nella stanza uno’’. Rilassate le vostre gambe stendendovi sul letto a baldacchino e approfittate dei costosi champagne del frigobar, prendetene a più non posso, perché come già detto, è un albergo infinito. Ma ricordate la sola regola dell’albergo: se la voce dell’omino nella stanza rimbomberà, ascoltalo attentamente, perché la sua parola è legge. Ma che trambusto proviene da fuori la finestra? Affacciatevi e ammirate la bellezza di un autobus infinito con infiniti passeggieri. Ammirate le porte aprirsi e da esse fuoriuscire una fiumana senza fine di persone. La voce dell’omino per le stanze si spargerà e, per far posto a tutta quella gente, ordinerà: ‘’A tutti gli ospiti. Ripeto, a tutti gli ospiti. Spostarsi immediatamente nella stanza numero il doppio della stanza in cui siete ora’’. Afferrate valige e valigette, mischiatevi nella bolgia e ricercate quella stanza e meravigliatevi come ora tutti i passeggeri di quell’autobus infinito abbiano trovato un posticino in quell’albergo infinito, poiché infinite sono le camere lasciate vuote. In quell’hotel tutto è infinito e tutto trasuda d’infinito e non preoccupatevi se la vostra mente lì si perde perché tutto ciò che è finito può essere infinito se non ha una fine. Gettatevi sul letto e guardate, con gli occhi offuscati dai sogni, che tutto l’infinito diventa finito se lo si guarda in potenza. Guardate quel rotolo di carta igienica nel bagno, sembra normale, ma se provate a srotolarlo vi accorgerete che non finisce mai, come nelle pubblicità più finte. Correte per le scale, cercando un terrazzo o un tetto, e vi accorgerete che non c’è. Questo perché ogni volta che srotoli una striscia o sali di un piano, un altro si aggiunge e alla fine ti ritroverai con tanta carta in mano o un grande fiatone senza però che la distanza tra te e lo scheletro di cartone o il tetto sia cambiata. Guarda in basso e ammira di quanti piani sei salito. Confonditi ammirando l’orizzonte che si vede dall’alto di quelle scale. Guarda il corrimano come si perde in questo spettacolo. Esplora la tua stanza e prendi quella penna che sta sul comodino. Quanto è piccola la punta? Quasi non si vede. Provala su un foglio, la macchiettina è invisibile, così piccola che neanche il più piccolo microbo con il più microscopico dei microscopi potrebbe vederla, eppure c’è. Ricorda il corrimano, che incontrastato saliva tagliando i pianerottoli. Lasciati invadere la mente da quella linea, pensala con tutte le tue forze. È infinita, è tanto infinita. Il tuo cervello finito potrà chiedersi: quanto infinita? La risposta è presto detta. Srotola ancora il rotolo del bagno e non aver paura di sprecarlo, le graziose cameriere dell’albergo saranno pronte a sostituirlo. Con la fidata penna puntella la carta immaginandoti che ogni puntino sia un piano dell’albergo e quel lungo serpentone che si astrae dai puntini sia il fidato corrimano che ogni giorno sorregge il peso di tutti quelli che si avventurano ai piani più alti. Oh mio piccolo essere finito, dopo qualche ora la tua mano sarà stanca. Tranquillo, ciò che hai fatto sarà più che sufficiente. Ma guarda meglio la linea che hai costruito, non è proprio continua. Ci sarà sempre un piccolo spazietto bianco tra ogni puntino che avrai disegnato e non riuscirai ad annerire per bene quegli spazi puntellando il foglio, ma ti servirebbe un tratto continuo, oh mio piccolo viaggiatore. Cosa pensa la tua mente tanto finita quanto ampia? Ci sono infiniti più grandi di quanto è infinito quell’albergo? Ebbene sì. Pensa ai numeri che usi per contare e ora pensa a tutte le frazioni che puoi creare, ebbene il risultato è sorprendente, ma essi sono esattamente dello stesso numero. Ma ora pensa a tutti i numeri reali, tutti quelli che esistono, ebbene questi sono molti di più di quelli che usi per contare. E non ci sono solo infiniti più grandi, ma infiniti diversi. Continua a srotolare quel rotolone e vedi come la sua infinità risieda nel fatto che c’è sempre un’altra striscia dopo la striscia che hai tirato via e accorgiti di come lo stesso succeda anche con i pieni dell’albergo. Ma ora, caro ospite, focalizza l’attenzione sulla punta della penna: c’è qualcosa di più piccolo di quello? Un viaggiatore intelligente, avendo appena visto che c’è sempre qualcosa di più grande di qualcosa di grande risponderebbe: ‘’Sì, se c’è qualcosa di più grande di qualcosa di grande, c’è anche qualcosa di più piccolo di qualcosa di piccolo!’’ Ma sentendo le vostre parole, un uomo con un chitone e una lunga barba, butterebbe giù la porta e controbatterebbe: ‘’Ed esiste qualcosa di più piccolo di ogni cosa piccola?’’ A sentire tutto quel trambusto l’omino alla hall alla porta comparirebbe e aggiustandosi l’occhialetto gli spiriti calmerebbe: ‘’Oh miei gentili ospiti, non vi accorgete che entrambi avete ragione? Dipende da come utilizziamo queste cose piccole o grandi. Guardiamo il disordine che ha lasciato l’ospite nel bagno, ha cercato di creare una retta con tanti punti senza dimensione, ma come può un punto senza dimensione formare una retta di dimensioni ne ha una, se non accettando il fatto che esista qualcosa di più piccolo di ogni cosa piccola e questa è proprio il punto, ma che questo abbia effettivamente una fisicità? D’altra parte come potremmo accettare l’esistenza stessa di questo albergo senza accettare che nell’infinito c’è sempre qualcosa di più grande? Miei cari ospiti, ciò di cui state discutendo non sono altro che due facce della stessa medaglia!’’ Abbandonati sul letto e sogna più forte che puoi, domani dovrai andar via insieme alle infinite persone che con te hanno soggiornato. Mio caro viaggiatore perso nell’infinito, spero che il soggiorno all’albergo sia stato di suo gradimento. Le ricordo che per qualunque lamentela, chiarimento o semplicemente giudizio può chiamare il numero che presto le darò. Non esiti a chiamarci, fa sempre piacere un cordiale parere. A lei il numero : 3,1415926535897932384626433….

L’infinito è uno degli oggetti matematici più discussi nella storia della matematica. L’aneddoto dell’albergo di Hilbert può dare un’idea intuitiva su come gestirlo. È possibile pensare l’infinito in due modi: il potenziale e l’attuale. L’infinito o infinitesimo potenziale professa la possibilità di pensare a qualcosa di più grande o più piccolo di qualsiasi grandezza. Invece, l’infinito o infinitesimo attuale è una grandezza più grande o più piccola, ma non nulla, di qualsiasi altra grandezza possibile. L’infinito potenziale è quello più apprezzato dai matematici moderni, perché viene impiegato ad esempio nella nozione di limite, mentre quello attuale trova le sue radici nella convinzione dei greci che ogni figura fosse composta da un numero infinito (attuale) di punti infinitesimi (attuali). Tuttavia recentemente l’uso dell’infinito attuale è stato accolto dall’Analisi, ad esempio come cardinalità di insiemi infiniti. In effetti gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, cioè numero di elementi al loro interno. Per essere più chiari: esistono infiniti più infiniti di altri. L’insieme dei naturali, dei relativi e delle frazioni hanno la stessa cardinalità, mentre l’insieme dei reali è più grande (per una dimostrazione intuitiva vedi ‘Argomento diagonale di Cantor’). Il modo più semplice di vedere che l’insieme dei naturali e dei relativi hanno la stessa cardinalità è immaginarsi una tabella a due righe che si estende all’infinito. Sulla prima riga scriviamo i numeri naturali in ordine, sulla seconda i relativi seguendo questo schema: 0, 1, -1, 2, -2 ecc. Notiamo che ogni colonnina della tabella sarà composta da due numeri, cioè nessun relativo trova sopra di sé una casella vuota e viceversa, allora il numero di cifre scritte sulle due righe è lo stesso. Pensare ad infiniti ancora più grandi della cardinalità dei reali diventa molto più difficile, per averne assaggio si potrebbe pensare alla cardinalità dell’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi dei numeri reali.

Serie: Menti straordinarie
  • Episodio 1: Parte 0: Introduzione
  • Episodio 2: Parte 1: Le pillole di Paul
  • Episodio 3: Parte 2: Le sigarette di Ettore
  • Episodio 4: Parte 3: Lo specchio di Sof’ja
  • Episodio 5: Parte 4: L’amore di Yutaka
  • Episodio 6: Parte 5: La penna di Galois
  • Episodio 7: Intuizioni
  • Episodio 8: L’abaco di Gerberto
  • Episodio 9: L’omino di Escher
  • Episodio 10: Il bracciale di Antoine
  • Episodio 11: Una notte all’hotel Hilbert
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